第 5 套卷

高等数学基础篇 · 适应期收官 · 90 分钟

日期：____月____日用时：______分钟得分：________ / 120

范围：第二章 · 第三章 · 第六章

一、选择题（每题 5 分，共 20 分）

1.第二章基础选择(5)

设 f(x) 在 [-1,1] 上二阶可导，且 f″(x)>0，∫_-1¹f(x)dx=2，则 f(0) 的取值范围为（　）。

A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. (-∞,1)D. (1,+∞)

2.第二章基础选择(6)

设 f(x) 在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=0，lim_x→0 f(x)/(1-cosx)=2，则 f(x) 在 x=0 处（　）。

A. 不可导B. 可导且 f′(0)≠0C. 有极小值D. 有极大值

3.第三章基础选择(4)

设 F(x) 是 sinx² 的一个原函数，则 d[F(x²)]=（　）。

A. sinx⁴dxB. sinx²d(x²)C. 2xsinx²dxD. 2xsinx⁴dx

4.第六章基础选择(1)

下列选项（C为任意常数）中，是微分方程 dy/dx+x/y=0 的通解的是（　）。

A. x²+y²=C²B. x²-y²=C²C. x²+y²=CD. x²-y²=C

5.第二章基础填空(2)

设 f(x) 连续，lim_x→0 ln[f(x+1)+e^x²]/x=1，则 lim_x→0{f[(1+tanx)²]-f(1+tanx)}/x=________。

6.第三章基础填空(5)

设 F(x)=∫₀^xt f(x²-t²)dt，f(x) 在 x=0 某邻域内可导，且 f(0)=0，f′(0)=1，则 lim_x→0F(x)/x⁴=________。

7.第三章基础填空(6)

设 f(x) 可导，对任意 x,y，有 f(x+y)=∫_x^x+y[t(t²+1)/f(t)]dt+f(x)，且 f(1)=√2，则 f(x)=________。

8.第六章基础填空(1)

微分方程 (1+y²)dx+(2x-1)y dy=0 的通解为________。

9.第二章基础解答(2)只做 (I)、(II)

求下列函数的导数：
(I) y=(1+x²)^sinx；
(II) y=ln[1/√(x+√(x²+1))]。

10.第二章基础解答(10)

设 f(x) 在 [0,+∞) 上连续，在 (0,+∞) 内可导，且 f(0)=0，lim_x→+∞f(x)=0。证明：至少存在一点 ξ∈(0,+∞)，使得 f′(ξ)=0。

11.第三章基础解答(5)原题4小问，本卷只做 (I)、(II)

求下列积分：
(I) ∫_-π/4^π/4[x²ln((1+x)/(1-x))-cosx]dx；
(II) ∫_-1¹(2+sinx)√(1-x²)dx。

12.第六章基础解答(5)

利用变换 u=e^x，求微分方程 y″-2(e^x+1)y′+e^2xy=e^3x 的通解。