第 13 套卷

高等数学基础篇 · 错题回炉 · 90 分钟

日期：____月____日用时：______分钟得分：________ / 120

范围：第二章 · 第三章 · 第五章 · 第六章 · 第八章

一、选择题（每题 5 分，共 20 分）

1.第二章基础选择(12)中

设 δ>0，f(x) 在 (−δ,δ) 内有定义，当 x∈(−δ,δ) 时，有 |f(x)|≤x²，则 x=0 是 f(x) 的（　）.

A. 间断点B. 连续但不可导点C. 可导点且 f′(0)=0D. 可导点且 f′(0)≠0

2.第五章基础选择(5)中

将二重积分 I=∫_π/4^π/2dθ∫₀^2sinθf(rcosθ,rsinθ)rdr 化为直角坐标系下的二次积分，则 I=（　）.

A. ∫₀¹dx∫_{1−√(1−x²)}^xf(x,y)dyB. ∫₀¹dx∫_x^√(1−x²)f(x,y)dyC. ∫₀¹dy∫₀^yf(x,y)dx + ∫₁²dy∫₀^{√(2y−y²)}f(x,y)dxD. ∫₀¹dy∫_y^{√(2y−y²)}f(x,y)dx

3.第六章基础选择(4)易

设 y₁(x)、y₂(x) 是 y′+P(x)y=0 的两个不同特解，其中 P(x) 在 (−∞,+∞) 内连续，且 P(x) 不恒为0，则下列结论中错误的是（　）.

A. y₁(x)−y₂(x)=常数B. C[y₁(x)−y₂(x)] 是方程的通解C. y₁(x)−y₂(x) 在任意一点处不为0D. y₂(x)/y₁(x)≡常数（y₁(x)≠0）

4.第八章基础选择(1) · 错题回炉回炉

设级数 Σuₙ 与 Σvₙ 均发散，则（　）.

A. Σ(uₙ+vₙ) 必发散B. Σuₙvₙ 必发散C. Σ(|uₙ|+|vₙ|) 必发散D. Σ(uₙ²+vₙ²) 必发散

5.第二章基础填空(11)中

设 lim_x→+∞(√(ax²−x+3)−2x)=b，其中 a、b 为常数，a>0，则曲线 y=√(ax²−x+3) 在 (0,+∞) 内的斜渐近线方程为________.

6.第五章基础填空(5)易

设 D:2x≤x²+y²，0≤y≤x≤2，则 I=∬_D dxdy/√(x²+y²)=________.

7.第六章基础填空(4)易

方程 y″+2y′+y=xeˣ 满足 y(0)=0，y′(0)=0 的特解为________.

8.第三章基础填空(9) · 错题回炉回炉

极限 lim_x→+∞[∫₀^x|sin t|dt]/x=________.

9.第二章基础解答(14)难 · 预计 18 分钟

设 f(x) 在 [0,1] 上二阶可导，|f″(x)|≤1，f(x) 在 (0,1) 内取得最小值，证明：|f′(0)|+|f′(1)|≤1.

10.第五章基础解答(3)易 · 预计 12 分钟

设 D:x²+y²≤√2x，0≤y≤x，计算 I=∬_D|√(x²+y²)−1|dxdy.

11.第六章基础解答(2)易 · 预计 12 分钟

设 f(x) 可导，对任何实数 x、y 满足 f(x+y)=eˣf(y)+eʸf(x)，且 f′(0)=e，求 f(x).

12.第二章基础解答(5) · 错题回炉回炉 · 预计 10 分钟

设 f(x) 在 (0,+∞) 内满足 f(xy)=f(x)+f(y)，且 f′(1)=1，证明 f(x) 在 (0,+∞) 内可导，并求 f(x).