1.第二章 基础 选择(4)奇偶性与导数扫描 P21
答案：C
由 f 为奇函数，f′ 为偶函数，故 x<0 时 f′(x)=f′(-x)>0；f″ 为奇函数，故 f″(x)=-f″(-x)<0。
第 4 套卷 · 答案与解析
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选择题_____ + 填空题_____ + 解答题_____ = _______ / 120
一、选择题
2.第三章 基础 选择(2)原函数奇偶性扫描 P51
答案：A
若 f 为奇函数，令 G(x)=F(x)-F(0)，则 G′=f 且 G(0)=0；由积分对称性可知 G 为偶函数，常数平移不改变偶性，因此 F 为偶函数。其余结论均可由反例否定。
3.第三章 基础 选择(3)变限积分扫描 P51
答案：C
由 f 为偶函数，∫-∞0f=a/2。于是 F(-x₀)=a/2-∫-x₀0f(t)dt=a/2-∫0x₀f(t)dt。
4.第四章 基础 选择(1)偏导数定义扫描 P96
答案：B
沿 y=0：f(x,0)=arcsin|x|，所以 [f(x,0)-f(0,0)]/x 的左右极限异号，f′x(0,0) 不存在。沿 x=0：f(0,y)=arcsin(y²)，除以 y 后极限为 0，故 f′y(0,0)=0。
二、填空题
5.第三章 基础 填空(4)分段原函数扫描 P55—56
答案：x<-1 时 F=x³/3+1/3；-1≤x≤1 时 F=x+1；x>1 时 F=x³/3+5/3。
分段积分后，利用 F(0)=1 确定中段常数；原函数处处可导，故在 x=±1 连续，再由连续条件确定两侧常数。
6.第四章 基础 填空(1)二元极限扫描 P97—98
答案：0
由 x²+y²≥2|xy|，可得 |(x+y)/(x²-xy+y²)|≤1/|x|+1/|y|，当 x、y 同时趋于无穷时右端趋于 0。
7.第四章 基础 填空(2)指数型极限扫描 P98
答案：e-1/2
写成 [(1-1/(2x))-2x]-x/[2(x+y)]。前一部分趋于 e，后一指数趋于 -1/2。
8.第七章 基础 填空(1)需求弹性扫描 P159
答案：Q(P)=1500·3-P
由 η=-(P/Q)dQ/dP=P·ln3，得到 dQ/Q=-ln3·dP。积分得 Q=C·3-P；最大需求量对应 P=0，故 C=1500。
三、解答题
9.第三章 基础 解答(6)定积分计算扫描 P64
答案：(I) π/8；(II) 0。
(I) 令 t=x-1，把根式化为 √(1-t²)，再令 t=sin u，化为三角积分，结果为 π/8。
(II) 令 x=π/2+t，积分区间关于 0 对称，而 esin t-e-sin t 为奇函数，故积分为 0。
只安排 (I)、(II)，避免一题四小问把 90 分钟训练挤爆。
10.第四章 基础 解答(2)隐函数组求导扫描 P100—101
答案：dy/dx=(15-10x+4z)/[2(5y+3z)]；dz/dx=(9-6x-4y)/[2(5y+3z)]。
两式同时对 x 求导，得到关于 y′、z′ 的二元一次方程组：2yy′+2zz′=3-2x，-3y′+5z′=-2。用克拉默法则求解即可。
11.第七章 基础 解答(2)利润与弹性扫描 P160—161
答案：(I) Q*=(m-b)/[2(n+a)]，Lmax=(m-b)²/[4(n+a)]-c；(II) η=P/(m-P)。
由 P=m-nQ，利润 L=PQ-C(Q)=-(n+a)Q²+(m-b)Q-c。抛物线开口向下，顶点即给出最优产量和最大利润。
由 Q=(m-P)/n，Q′=-1/n；按正弹性定义 η=-(P/Q)Q′=P/(m-P)。
本卷只取 (I)、(II)，不再加入原题 (III)。
12.第二章 基础 解答(1) · 回炉只做 (III)扫描 P28
答案：sinx≠0 时，y′=2|sinx|ln2·cosx·sgn(sinx)；x=kπ 时不可导。
当 sinx≠0 时按复合函数求导。对 x=kπ，必须回到导数定义：令 h→0，|sin(kπ+h)|∼|h|，差商的右极限为 ln2、左极限为 -ln2，二者不相等，因此不可导。
回炉重点：一点处的导数不能直接套链式法则，要用导数定义分别检查左右差商。